최단경로 - 플로이드 워셜

본 내용은 '이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬' 책을 기반으로 포스팅 하였습니다.

플로이드 워셜 알고리즘

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모드 계산하는 알고리즘이다.
• 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않다.
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
• 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐 가는 경우를 확인한다.
  • a에서 b로 가는 최단거리보다 a에서 k를 거쳐 b로 가는 거리가 더 짧은지 검사한다.
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속한다.

 

플로이드 워셜 알고리즘 동작 과정

• step1 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• step2 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• step3 3번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

• step4 4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

플로워셜 알고리즘 소스코드

// 노드의 개수 입력받기
let n = Int(readLine()!)!
// 간선의 개수 입력받기
let m = Int(readLine()!)!

// 2차원 리스트에 모든 값을 9999999999(무한)으로 초기화
var graph = Array(repeating: Array(repeating: [9999999999], count: n+1), count: n+1)

// 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용 0으로 초기화
for i in 0...n {
    for j in 0...n {
        if i == j {
            graph[i][j] = [0]
        }
    }
}

// 각 간선에 대한 정보를 입력받고 초기화
// input[0] = 출발노드
// input[1] = 도착노드
// input[2] = 비용
for _ in 1...m {
    let input = readLine()!.components(separatedBy: " ").map({Int($0)!})
    graph[input[0]][input[1]] = [input[2]]
}

// 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
// 각각의 노드를 거쳐가는 경우를 계산해 a에서 b로 가는 비용이 더 작을때 값 갱신
for k in 1...n {
    for a in 1...n {
        for b in 1...n {
            graph[a][b] = [min(graph[a][b].first!, graph[a][k].first! + graph[k][b].first!)]
        }
    }
}

// 결과 출력
for i in graph {
    print(i)
}

/*
 [[0], [9999999999], [9999999999], [9999999999], [9999999999]]
 [[9999999999], [0], [4], [8], [6]]
 [[9999999999], [3], [0], [7], [9]]
 [[9999999999], [5], [9], [0], [4]]
 [[9999999999], [7], [11], [2], [0]]
 */

플로이드 워셜 알고리즘 성능 분석
1. 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행한다.
2. 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
3. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간복잡도는 O(N^3)이다.