기타 그래프 이론

본 내용은 '이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬' 책을 기반으로 포스팅 하였습니다.

서로소 집합 알고리즘

• 서로소 집합 알고리즘이란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.
• 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.
  • 합집합 - 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
  • 찾기 - 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기 자료구조라고 불리기도 한다.

 

서로소 집합 알고리즘 동작과정

1. 합집합 연산을 확인하여 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다.
   1. A와 B의 루트 노드 A,B를 각각 찾는다.
   2. A를 B의 부모 노드로 설정한다. (A가 B를 가리키도록)
2. 모든 합집합 연산을 처리할 때까지 위 과정을 반복한다.

 

• step1 union 1,4
  • 노드 1,4의 부모노드가 각각 1과 4이기 때문에 둘중 부모노드가 더 큰 노드 4의 부모를 1로 설정한다.

• step2 union 2,3
  • 노드 2,3의 부모노드가 각각 2와 3이기 때문에 둘중 부모노드가 더 큰 노드 3의 부모를 2로 설정한다.

• step3 union 2,4
  • 노드 2,4의 부모노드가 각각 2와 1이기 때문에 둘중 부모노드가 더 큰 노드 2의 부모를 1로 설정한다.

• step1 union 5,6
  • 노드 5,6의 부모노드가 각각 5와 6이기 때문에 둘중 부모노드가 더 큰 노드 6의 부모를 5로 설정한다.

서로소 집합 알고리즘 소스코드

// 노드의 개수, 합집합 연산 개수 입력받기
let input = readLine()!.components(separatedBy: " ").map({Int($0)!})
// 노드의 개수
let n = input[0]
// 합집합 연산 개수
let union = input[1]

// 부모노드배열 초기화
var parentArr = Array(repeating: 0, count: n + 1)

// 부모노드를 자기자신으로 초기화
for i in 0...n {
    parentArr[i] = i
}

// 부모노드 찾기
func findParent(node: Int) -> Int {
    // 현재노드의 부모노드가 루트노드가 아니면
    if parentArr[node] != node {
        // 루트노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        return findParent(node: parentArr[node])
    }
    // 현재 노드가 자기자신이라면 현재 노드번호 반환
    return node
}

// 합집합 연산 수행
func unionParent(a: Int, b: Int) {
    // A노드의 부모노드 찾기
    let a = findParent(node: a)
    // B노드의 부모노드 찾기
    let b = findParent(node: b)
     
    // a의 부모노드가 b의 부모노드보다 작다면
    if a < b {
        // b의 노드에 a의 부모노드 저장
        parentArr[b] = a
    } else {
        // a의 노드에 b의 부모노드 저장
        parentArr[a] = b
    }
}

// 유니온 연산 수 만큼 반복
for _ in 0..<union {
	// A노드 B노드 입력받기 
    let inputUnion = readLine()!.components(separatedBy: " ").map({Int($0)!})
   
    // 유니온 연산 수행
    unionParent(a: inputUnion[0], b: inputUnion[1])
}

// 각 원소의 루트노드 출력하기위해 수행
var resultUnion = [Int]()
for i in 1...n {
    resultUnion.append(findParent(node: i))
}

print("각 원소가 속한 집합: \(resultUnion)") // 각 원소가 속한 집합: [1, 1, 1, 1, 5, 5]
print("부모 테이블 \(parentArr[1...n])") // 부모 테이블 [1, 1, 2, 1, 5, 5]

 

경로 압축 기법

• find 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블값을 갱신하는 기법이다.

• 위 그래프를 통해서 알 수 있듯이 1부터 5까지의 모든 원소의 루트노드는 1이다.
• 하지만 실제 부모노드 테이블에 담겨있는 값은 1, 1, 2, 3, 4이며, 노드 5의 루트노드를 찾으려면 5번 ~ 1번 노드까지 순회해야한다.
• 결과적으로 최대 O(V)의 시간이 소요될 수 있다. (V = 노드의 수)
• 이대로 사용하게 될 경우 노드의 개수 V개이고, find 혹은 union 연산의 개수가 M개 일때 전체 시간 복잡도는 O(VM)이 되어 비효율적이다.

 

기존 find 코드 

// 부모노드 찾기
func findParent(node: Int) -> Int {
    // 현재노드의 부모노드가 루트노드가 아니면
    if parentArr[node] != node {
        // 루트노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
        return findParent(node: parentArr[node])
    }
    // 현재 노드가 자기자신이라면 현재 노드번호 반환
    return node
}

 

경로 압축 기법 사용 find 코드

// 부모노드 찾기
func findParent(node: Int) -> Int {
    // 현재노드의 부모노드가 루트노드가 아니면
    if parentArr[node] != node {
        // 루트노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출하면서 결과값은 부모노드 테이블에 저장
        parentArr[node] = findParent(node: parentArr[node])
    }
    // 현재 노드가 자기자신이라면 현재 부모노드 테이블 반환
    return parentArr[node]
}

 

위와 같이 함수를 수정하면 각 노드에 대하여 find 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.

결과적으로 경로 압축 기법을 이용하게 되면 루트 노드에 더욱 빠르게 접근할 수있다는 점에서 기존의 기본적인 알고리즘과 비교했을 때 시간 복잡도가 개선된다.

 

서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도

• 경로 압축 방법을 사용하면 노드의 개수가 V개이고 최대 V-1개의 union 연산과 M개의 find 연산이 가능할 때
• O(V+M(1+log_2-M/V)V)의 시간 복잡도를 가진다.

 

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

• 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
• 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

 

사이클 판별 알고리즘의 동작 과정

• 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
  • 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합 연산을 수행한다.
  • 루트 노드가 서로 같다면 사이클이 발생함을 의미한다.
• 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.

• step1 간선 (1,2)를 확인한다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2고, 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모노드를 1로 변경한다.

• step2 간선 (1,3)을 확인한다. 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이다. 따라서 더 큰 번호를 갖는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경한다.

• step3 간선 (2,3)을 확인한다. 다만, 이때 노드 2와 노드 3이 이미 루트 노드로 노드 1을 가지고 있다. 다시 말해서 사이클이 발생한 것을 알 수 있다.

 

사이클 판별 알고리즘 소스코드

// 노드의 개수, 합집합 연산 개수 입력받기
let input = readLine()!.components(separatedBy: " ").map({Int($0)!})
// 노드의 개수
let n = input[0]
// 합집합 연산 개수
let union = input[1]

// 부모노드배열 초기화
var parentArr = Array(repeating: 0, count: n + 1)

// 부모노드를 자기자신으로 초기화
for i in 0...n {
    parentArr[i] = i
}

// 부모노드 찾기
func findParent(node: Int) -> Int {
    // 현재노드의 부모노드가 루트노드가 아니면
    if parentArr[node] != node {
        // 루트노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출하면서 결과값은 부모노드 테이블에 저장
        parentArr[node] = findParent(node: parentArr[node])
    }
    // 현재 노드가 자기자신이라면 현재 부모노드 테이블 반환
    return parentArr[node]
}

// 합집합 연산 수행
func unionParent(a: Int, b: Int) {
    // A노드의 부모노드 찾기
    let a = findParent(node: a)
    // B노드의 부모노드 찾기
    let b = findParent(node: b)
     
    // a의 부모노드가 b의 부모노드보다 작다면
    if a < b {
        // b의 노드에 a의 부모노드 저장
        parentArr[b] = a
    } else {
        // a의 노드에 b의 부모노드 저장
        parentArr[a] = b
    }
}


// 사이클 발생여부 체크
var isCycle = false

// 유니온 연산 수 만큼 반복
for _ in 0..<union {
    // A노드 B노드 입력받기
    let inputUnion = readLine()!.components(separatedBy: " ").map({Int($0)!})
   
    let a = findParent(node: inputUnion[0])
    let b = findParent(node: inputUnion[1])
    
    // 사이클이 발생한 경우 반복문 종료
    if findParent(node: a) == findParent(node: b) {
        isCycle = true
        break
    } else {
        // 유니온 연산 수행
        unionParent(a: inputUnion[0], b: inputUnion[1])
    }
}

if isCycle {
    print("사이클이 발생했습니다.")
} else {
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")
}